Абсолютная и относительная погрешность доверительного интервала: основные понятия и их значения

В статистике и анализе данных, доверительный интервал используется для определения точности и надежности оценок. Абсолютная и относительная погрешность доверительного интервала являются важными показателями, которые отражают степень вероятности расположения истинного значения внутри интервала.

Абсолютная погрешность доверительного интервала представляет собой числовое значение, которое показывает разницу между верхней и нижней границей интервала. Она является мерой неточности оценки и позволяет оценить, насколько точно истинное значение может находиться внутри интервала.

Относительная погрешность доверительного интервала представляет собой отношение абсолютной погрешности к центральной точке интервала. Она выражается в процентах и показывает, какая часть интервала составляет ошибка относительно центральной точки. Относительная погрешность позволяет оценить степень точности и надежности интервала и сравнить разные интервалы по точности оценки. Чем меньше относительная погрешность, тем точнее и надежнее интервал.

Абсолютная погрешность доверительного интервала

Абсолютная погрешность определяется следующим образом:

Абсолютная погрешность = (верхняя граница интервала — нижняя граница интервала) / 2

Чтобы понять значение абсолютной погрешности, нужно знать точность оценки и доверительный уровень. Чем меньше абсолютная погрешность, тем точнее оценка и выше уровень доверия.

Например, если мы оцениваем среднее значение времени, затраченного на выполнение определенной задачи, и получаем доверительный интервал от 5 до 10 минут, абсолютная погрешность будет равна (10 — 5) / 2 = 2.5 минуты. Это означает, что истинное среднее значение времени находится в пределах этого интервала с вероятностью 95%.

Низкая абсолютная погрешность свидетельствует о высокой точности оценки. И наоборот, высокая абсолютная погрешность указывает на низкую точность оценки.

Определение и основные принципы

Основными принципами использования абсолютной и относительной погрешности доверительного интервала являются:

1. Понимание оценки параметра: абсолютная и относительная погрешности дают представление о точности оценки параметра на основе выборки данных.
2. Сравнение оценок: с помощью относительной погрешности можно сравнить точность разных оценок параметра и выбрать наиболее надежную.
3. Учет размера выборки: чем больше размер выборки данных, тем меньше погрешность оценки параметра.

Примеры расчета и интерпретация

Чтобы лучше понять, как работают абсолютная и относительная погрешность доверительного интервала, рассмотрим несколько примеров.

1. Предположим, что мы провели опрос среди 1000 случайно выбранных респондентов и хотим построить доверительный интервал для процента людей, поддерживающих определенную политическую партию. Результаты опроса показали, что 600 респондентов поддерживают эту партию. Мы хотим построить 95-процентный доверительный интервал для процента поддерживающих.

   • Абсолютная погрешность: Для построения доверительного интервала мы можем использовать формулу для пропорции биномиального распределения: sqrt((p * (1 - p))/n), где p — процент поддерживающих, n — общее число респондентов. В нашем случае, p = 600/1000 = 0.6 и n = 1000. Подставляя значения в формулу, получаем sqrt((0.6 * 0.4)/1000) ≈ 0.0155. Таким образом, абсолютная погрешность составляет примерно 0.0155 или 1.55%.
   • Относительная погрешность: Относительная погрешность можно рассчитать, разделив абсолютную погрешность на оценку процента и умножив на 100%. В нашем случае, (0.0155 / 0.6) * 100% ≈ 2.58%. Таким образом, относительная погрешность составляет примерно 2.58%.

   Таким образом, мы можем интерпретировать результаты как: «Мы имеем 95% уверенность в том, что процент людей, поддерживающих политическую партию, находится в промежутке от 57.42% до 62.58%».

2. Возьмем другой пример. Предположим, что мы собираем данные о доходах 100 случайно выбранных людей и хотим построить доверительный интервал для среднего дохода в городе.

   • Абсолютная погрешность: Для построения доверительного интервала мы можем использовать формулу для среднего: σ / sqrt(n), где σ — стандартное отклонение доходов, n — общее число наблюдений. Допустим, что стандартное отклонение равно $10000 и ‘n = 100’. Подставляя значения в формулу, получаем 10000 / sqrt(100) = 1000. Таким образом, абсолютная погрешность составляет 1000 долларов.
   • Относительная погрешность: Относительная погрешность можно рассчитать, разделив абсолютную погрешность на оценку среднего и умножив на 100%. В нашем случае, (1000 / x̄) * 100%, где x̄ — среднее значение доходов. Пусть среднее значение равно $50000. Тогда, (1000 / 50000) * 100% = 2%. Таким образом, относительная погрешность составляет 2%.

   Мы можем интерпретировать результаты как: «Мы имеем 95% уверенность в том, что средний доход в городе находится в промежутке от $49000 до $51000».

Это только примеры расчета и интерпретации погрешностей доверительных интервалов. В каждом конкретном случае формулы и методы могут отличаться в зависимости от задачи и типа данных. Важно уметь адаптировать эти концепции для разных ситуаций и тщательно проводить анализ данных.